SimBeFraM = Simple Bending Fracture Model
prosinec 2009, Petr Frantík & Michal Štafa
poslední aktualizace: prosinec 2009
http://simbefram.kitnarf.cz

SimBeFraM dokumentace (verze 1.0 a pozdější)
Petr Frantík, Michal Štafa

Obsah

1. Úvod
2. Pojmy
3. Model
4. Genetická reprezentace
5. Spuštění aplikace
6. Poznámky
7. Literatura

Úvod

Aplikace SimBeFraM slouží pro analýzu lomových zkoušek cementových kompozitů, prováděných tzv. tříbodovým ohybem trámce se zářezem v oblasti tahového namáhání, viz obr. 1. Lze ji použít například pro:

• přesné výpočty různých parametrů testovaného vzorku (počáteční tuhost vzorku resp. modul pružnosti, přetvárnou práci resp. lomovou energii),
• korekce neúplných nebo nepřesných měření, odstranění šumu,
• primitivní výukovou reprezentaci ohybu a ohybového porušení, vysvětlení souvislostí mezi parametry různých modelů lomu a jejich chováním,
• analýzu kompozitních materiálů, jednoduché predikce vlivu změny jejich vlastností,
• pokročilou aproximaci naměřených dat, je-li potřeba získat spojitou aproximační funkci,
• provádění dynamických simulací lomových zkoušek, např. pro odhalení příčiny problémů při experimentálním měření,
• odhalení nehomogenity průřezu, její vliv na tvar zatěžovacího diagramu.

Obr. 1: Schéma tříbodového ohybu trámce se zářezem

Pojmy

Cementové kompozity

jsou stavební materiály složené z plniva (zpravidla těžené kamenivo) a pojiva na bázi cementu. Vzniká smíšením těchto složek s vodou a následným tuhnutím a tvrdnutím. Typickým případem takového kompozitu je cementový beton.

Lomová plocha

je povrch tělesa vznikající jeho namáháním. Lomová plocha má specifický tvar daný lomovým procesem, viz.

Lomová zkouška

je experiment prováděný za účelem zjištění či ověření lomového chování konstrukce či vzorku. Výsledkem zkoušky může být naměření zatěžovacího diagramu, různých parametrů, vznik a způsob šíření trhlin, apod.

Trhlina

je porucha spojitosti materiálu tělesa vzniklá jeho namáháním. Její vznik je doprovázen vznikem nových lomových ploch.

Tříbodový ohyb trámce

je zatěžování trámce (zpravidla obdélníkového průřezu) ve třech bodech tak, aby docházelo převážně k ohybu, viz obr. 1.

Model

Z výpočetního hlediska je úloha lomu při tříbodovém ohybu trámce se zářezem dostatečně složitá na to, aby se za určitých okolností uplatnil zjednodušený model. Těmito okolnostmi jsou například dynamické simulace, identifikace parametrů modelu, parametrické studie, apod. Zjednodušení úlohy je značné: trámec je rozdělen rovinou symetrie na dvě absolutně tuhé desky, vzájemně spojené kloubem a skupinou vláken, viz obr. 2. Díky takto značnému zjednodušení, lze například zatěžovací diagram získat velmi rychle a tak efektivně provádět výpočty, které jsou náročné v jiném smyslu.

Obr. 2: Model lomu při ohybu

Model je dán následujícími parametry: výškou oslabeného průřezu h, šířkou oslabeného průřezu w, rozpětím l a množinou skupin vláken, jejichž uspořádání bude detailně popsáno dále. Každé vlákno, působící ve vzdálenosti r od kloubu, je definováno bilineární funkcí, viz obr. 3.

Obr. 3: Napjatostní funkce vlákna

Tato funkce je určena parametry: tuhostí k, mezní silou F_p a koeficientem přetvárné práce c. Z této trojice parametrů lze výpočtem stanovit: tuhost sestupné větve k_d, kritické protažení u_p, protažení při přetržení vlákna u_z a práci nutnou k přetržení vlákna G s pomocí následujících výrazů:

(1)

(2)

(3)

(4)

Pro sílu F_v, kterou vlákno působí na tuhou desku platí:

(5)

kde u_v, je protažení vlákna, pro které lze psát:

(6)

kde u, je průhyb trámce. Pro výslednou sílu F, kterou je trámec uprostřed rozpětí zatěžován, pak platí výraz:

(7)

kde i je index vlákna a n je počet vláken.

V modelu SimBeFraM se vlákna nedefinují jednotlivě, ale v rámci skupin. Skupinu vláken lze chápat jako část oslabeného průřezu trámce, která se vnitřně převádí na ekvidistantně rozmístěná vlákna po její ploše. V rámci skupiny mají všechna vlákna stejné vlastnosti, vzájemně se lišící pouze polohou. Počet vláken ve skupině je nastaven implicitně v závislosti na velikosti skupiny. V případě požadavku větší hladkosti diagramu resp. rychlejšího výpočtu lze počet vláken ve skupině změnit.

Skupiny vláken jsou vytvářeny specifickým způsobem tak, aby bez překryvů a otvorů vyplnily celý oslabený průřez trámce (otvor v průřezu lze modelovat skupinou s vhodnými vlastnostmi). Každá skupina má tvar obdélníka se stranami rovnoběžnými s okraji oslabeného průřezu. Skupiny jsou po průřezu rozmístěny ve sloupcích, přičemž každý sloupec může mít jiný počet skupin a jiné uspořádání, viz obr. 4.

Obr. 4: Uspořádání skupin po oslabeném průřezu

Takto navržené uspořádání umožňuje širokou variabilitu současně s nízkým počtem geometrických parametrů. Při vhodně zvolených parametrech dokonce není třeba kontrolovat geometrické poruchy (překryvy skupin a otvory). Tento fakt má velký význam u genetické reprezentace modelu, viz dále. Skupiny jsou řazeny v posloupnosti, tj. každá skupina má svůj index a díky tomu i danou polohu vhledem k ostatním skupinám, viz obr. 5.

Obr. 5: Posloupnost skupin

Kromě indexu má každá skupina následující parametry: velikost s, modul pružnosti E, tahovou pevnost f, coeficient přetvárné práce c a značku ukončení sloupce t. Pomocí těchto parametrů se vypočítají parametry jednotlivých vláken, včetně jejich polohy, v závislosti na počtu vláken ve skupině.

Relativní rozměry dané skupiny v rámci průřezu trámce se odvíjejí od jejího parametru s a od parametru velikosti sloupce S_c, který se stanoví ze vztahu:

(8)

kde i_f je index první skupiny ve sloupci a i_l je index poslední skupiny ve sloupci. Absolutní rozměry skupiny jsou pak dány výrazy:

(9)

(10)

kde w_s je šířka skupiny, h_s je výška skupiny a n_g je celkový počet skupin v průřezu. Doplňme, že vzdálenost r_s horní hrany skupiny od kloubu je dána součtem výšek předcházejících skupin ve sloupci.

Výše již bylo zmíněno, že vlákna jsou ve skupině rozmístěna ekvidistantně. Za tohoto předpokladu pro polohu r_i vlákna i platí:

(11)

kde n_v je počet vláken ve skupině. Pro zbývající fyzikální parametry vlákna platí:

(12)

(13)

kde A je plocha skupiny. Koeficient přetvárné práce c je pro vlákno a skupinu shodný.

Genetická reprezentace

Model SimBeFraM lze použít k aproximaci zadaného zatěžovacího diagramu pomocí genetického algoritmu. Samotný model je reprezentován řetězcem čísel ve formátu tzv. Grayova kódu. Tento řetězec definuje uspořádání skupin vláken a jejich vlastnosti. Má následující tvar:

Z tohoto řetězce lze pomocí výše popsaných výrazů sestavit model se skupinami vláken.

Pro správnou funkci genetického algoritmu je potřeba určit počáteční model a nastavit pravděpodobnosti prohození bitů čísel v tomto řetězci včetně pravděpodobnosti zdvojení skupiny. Optimální řešení lze nalézt mnoha způsoby, přičemž není snadné určit, který způsob bude úspěšný a jak rychle bude optimum nalezeno.

Poznamenejme, že vývoj optimalizace je ovlivněn rovněž vnitřním nastavením genetického algoritmu: velikostí populace, pravděpodobností přežití zdatnějšího, apod. Je zde také významné omezení v rozsahu reprezentace čísel, které se nacházejí v řetězci. Z tohoto důvodu je nalezené řešení závislé rovněž na použitých jednotkách. Aplikace SimBeFraM předpokláda použití základních jednotek.

Spuštění aplikace

Aby bylo možno aplikaci SimBeFraM spustit, musí být v operačním systému nainstalována Java platforma (verze 1.6 a pozdější). Platformu lze stáhnout z adresy http://www.java.com/en/download/manual.jsp. Je-li Java platforma správně nainstalována, lze soubor aplikace simbefram.jar spustit.

Aplikace SimBeFraM se spouští buď přímo (kliknutím na soubor simbefram.jar) nebo z konzoly operačního systému (pokud jí systém disponuje). Spuštění z konzoly je vhodné pro hromadné zpracování a pro sledování podrobných varovných či chybových výpisů. Spuštění z konzoly se provede zapsáním následujícího řetězce do konzoly operačního systému (v případě, že jsme přítomni v adresáři, kde je umístěn soubor simbefram.jar):

  java -jar simbefram.jar

Poznámky

Vyvinuto v rámci výzkumného projektu GA ČR 103/08/0963: Základní únavové charakteristiky a lom pokročilých stavebních materiálů. Domovská stránka aplikace SimBeFraM je http://simbefram.kitnarf.cz.

Literatura

Wikipedia, the free encyclopedia: Concrete, http://en.wikipedia.org

Wikipedia, the free encyclopedia: Fracture, http://en.wikipedia.org

Wikipedia, the free encyclopedia: Gray code, http://en.wikipedia.org

Wikipedia, the free encyclopedia: Three point flexural test, http://en.wikipedia.org

Macur, J.: Dynamické systémy, http://www.fce.vutbr.cz/studium/materialy/Dynsys